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Oct 11, 2023

한 대학생이 불가능하기로 악명 높은 수학 문제를 풀었습니다.

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수학자라면 불가능을 가능으로 증명했을 수도 있습니다.

30년 동안 수학자들은 각각의 숫자 쌍이 고유한 값을 더해 각각의 값이 상당히 큰 무한한 숫자 집합이 있을 수 있는지 궁금해했습니다.

지난 3월, 옥스포드 대학의 한 대학원생이 마침내 예상치 못한 해결책인 기하학으로 전환하여 문제를 해결했습니다.

1993년, 20세기 가장 다작의 수학자 중 한 명인 헝가리 수학자 폴 에르되시(Paul Erdös)는 겉보기에 서로 상충되는 것처럼 보이는 두 가지 구성요소에 대한 질문을 제기했습니다. 시돈 집합이 "3차의 점근적 기초"가 될 수 있습니까?

설명해 보겠습니다.

다른 헝가리 수학자 Simon Sidon의 이름을 딴 이 집합은 기본적으로 집합에 있는 두 숫자의 합이 동일한 정수가 아닌 숫자 모음입니다. 예를 들어, 간단한 시돈 집합(1, 3, 5, 11)에서 집합의 두 숫자 중 하나를 더하면 고유한 숫자가 됩니다. 단 4개의 숫자만으로 시돈 집합을 구성하는 것은 매우 쉽지만 집합의 크기가 커질수록 점점 더 어려워집니다. 두 합계가 동일해지면 숫자 모음은 더 이상 Sidon 집합으로 간주되지 않습니다.

Erdös 문제의 두 번째 요소(무섭게 들리는 "차수 3의 점근적 기초" 부분)는 다음을 의미합니다.

집합은 무한히 커야 함

집합에서 최대 3개의 숫자를 더한 결과로 충분히 큰 정수를 작성할 수 있습니다.

따라서 이 30년 된 수수께끼는 이 두 요소가 동일한 숫자 집합에 존재할 수 있는지 여부에 중점을 두었습니다. 수십 년 동안 대답은 '아니요'인 것처럼 보였습니다.

그러나 올해 3월 옥스포드 대학원생인 Cédric Pilatte는 그러한 시돈 집합의 존재를 확인하는 증거를 발표했습니다. 그 이정표에 도달하는 것은 쉽지 않았습니다. 2010년에 수학자들은 시돈 집합이 5차의 점근적 기초가 될 수 있음을 증명했으며, 3년 후에는 시돈 집합이 "4차의 점근적 기초"가 될 수도 있음을 증명했습니다. 그러나 "차수 3"은 여전히 ​​파악하기 어렵습니다. 일부는 이론적으로는 가능하지만 증명하는 것은 엄청나게 어렵습니다(그리고 잠재적으로 불가능할 수도 있음).

Pilatte는 Quanta Magazine에 "그들은 반대 방향으로 당기고 있습니다"라고 말했습니다. "시돈 세트는 작게 제한되고 점근적 기저가 크게 제한됩니다. 이것이 작동할 수 있는지는 확실하지 않았습니다."

그러면 Pilatte는 겉보기에 둥근 구멍에 딱 맞는 수학적으로 정사각형 말뚝을 어떻게 얻었습니까? 그는 Erdös가 옹호하는 확률론적 방법과 소위 덧셈 정수론 대신에 색다른 접근 방식을 취하여 기하학으로 전환했습니다. Pilatte는 숫자를 다항식으로 대체하고 컬럼비아 대학 수학자들의 최근 연구를 활용했습니다. 이러한 아이디어를 결합하여 Pilatte는 Erdös의 원래 문제를 마침내 해결할 수 있을 만큼 충분히 조밀하고 무작위적인 Sidon 세트를 성공적으로 만들었습니다.

Pilatte의 작업은 다양한 분야에 걸쳐 많은 수학자들의 발견에 의존했으며 심지어 겉보기에 관련이 없어 보이는 수학 분야를 결합하여 질문에 답했습니다. Pilatte는 Quanta Magazine과의 인터뷰에서 "대수 기하학의 이러한 매우 심오한 기술을 숫자 집합에 관한 간단하고 구체적인 질문에도 사용할 수 있다는 것은 멋진 일입니다."라고 말했습니다.

그리고 이를 통해 또 다른 "불가능한" 수학 문제가 매우 가능하다는 사실이 밝혀졌습니다.

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